2016-06-07  math  quiz 

数学の問題:共役複素数

問題

複素数$\alpha,\beta$$\alpha\beta \neq 0$を満たすとする。 $\alpha$の共役複素数を$\bar{\alpha}$とする。 $\bar{\alpha}\beta$が実数であるとき、$\beta$$\alpha$の実数倍であるといえるか。

(神戸大学入試問題より、一部改変)

[いささか余計な解説付きの]解答

$\alpha$は複素数ですから]$a,b$を実数として$\alpha = a + bi$と書けます[$i$は虚数単位です]。

すると、[共役複素数の定義から]$\bar{\alpha} = a - bi$となります。

$\beta$$\alpha$の何倍になるかを調べましょう。 そのために、$\dfrac{\beta}{\alpha}$を計算するのですが、$0$割りが気になります]

$\alpha\beta \neq 0$から$\alpha \neq 0$がいえますから、 $\dfrac{\beta}{\alpha}$は[複素数を非$0$の複素数で割るので]数になります[ので値を計算する意味があります]。

[問題文で与えられている$\bar{\alpha}\beta$を使うために] $\dfrac{\beta}{\alpha}$の分子と分母に$\bar{\alpha}$を掛けると、 $$ \dfrac{\beta}{\alpha} = \dfrac{\bar{\alpha}\beta}{\bar{\alpha}\alpha} $$ となります。

[分母の]$\bar{\alpha}\alpha$を計算すると、 $$ \bar{\alpha}\alpha = (a - bi)(a + bi) = a^2+b^2 $$ となります。

したがって、 $$ \dfrac{\beta}{\alpha} = \dfrac{\bar{\alpha}\beta}{a^2+b^2} $$ が成り立ちます。

ところで、問題で与えられている条件から[分子の]$\bar{\alpha}\beta$は実数になりますので、 $\dfrac{\bar{\alpha}\beta}{a^2+b^2}$も[実数割る実数で]実数になります。この実数を$r$と置くと、 $$ \dfrac{\beta}{\alpha} = r $$ となります。つまり、 $$ \beta = r\alpha $$ ですから、$\beta$$\alpha$の実数倍であるといえます。

参照

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