2016-06-07   math   quiz 

数学の問題:共役複素数

問題

複素数\(\alpha,\beta\)\(\alpha\beta \neq 0\)を満たすとする。 \(\alpha\)の共役複素数を\(\bar{\alpha}\)とする。 \(\bar{\alpha}\beta\)が実数であるとき、\(\beta\)\(\alpha\)の実数倍であるといえるか。

(神戸大学入試問題より、一部改変)

[いささか余計な解説付きの]解答

\(\alpha\)は複素数ですから]\(a,b\)を実数として\(\alpha = a + bi\)と書けます[\(i\)は虚数単位です]。

すると、[共役複素数の定義から]\(\bar{\alpha} = a - bi\)となります。

\(\beta\)\(\alpha\)の何倍になるかを調べましょう。 そのために、\(\dfrac{\beta}{\alpha}\)を計算するのですが、\(0\)割りが気になります]

\(\alpha\beta \neq 0\)から\(\alpha \neq 0\)がいえますから、 \(\dfrac{\beta}{\alpha}\)は[複素数を非\(0\)の複素数で割るので]数になります[ので値を計算する意味があります]。

[問題文で与えられている\(\bar{\alpha}\beta\)を使うために] \(\dfrac{\beta}{\alpha}\)の分子と分母に\(\bar{\alpha}\)を掛けると、 \[ \dfrac{\beta}{\alpha} = \dfrac{\bar{\alpha}\beta}{\bar{\alpha}\alpha} \] となります。

[分母の]\(\bar{\alpha}\alpha\)を計算すると、 \[ \bar{\alpha}\alpha = (a - bi)(a + bi) = a^2+b^2 \] となります。

したがって、 \[ \dfrac{\beta}{\alpha} = \dfrac{\bar{\alpha}\beta}{a^2+b^2} \] が成り立ちます。

ところで、問題で与えられている条件から[分子の]\(\bar{\alpha}\beta\)は実数になりますので、 \(\dfrac{\bar{\alpha}\beta}{a^2+b^2}\)も[実数割る実数で]実数になります。この実数を\(r\)と置くと、 \[ \dfrac{\beta}{\alpha} = r \] となります。つまり、 \[ \beta = r\alpha \] ですから、\(\beta\)\(\alpha\)の実数倍であるといえます。

参照

https://twitter.com/hyuki/status/739804433765175301

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