2016-01-02  math 

たのしい部分積分

問題

不定積分 $$ \int x \arctan x \,dx $$ を求めよ。

解答

準備として、$(\arctan x)'$を求めます。まず $y = \arctan x$とおくと、 $\tan y = x$になります。$x$で微分して、$(1 + \tan^2 y) y' = 1$となります。よって、 $y' = \dfrac{1}{1 + \tan^2 y}$ すなわち $$ (\arctan x)' = \dfrac{1}{1 + x^2} $$ となります。

(これで、$1 + x^2$を使えそうだ、とわかりました)。

ここで、 $$ f(x) = (1 + x^2) \arctan x $$ とおくと、 $$ f'(x) = 2x \arctan x + 1 $$ になるので、 $$ x \arctan x = \frac12(f'(x) - 1) $$ となります。

よって、 $$ \int x \arctan x \,dx = \frac12(f(x) - x) + C $$ すなわち、 $$ \int x \arctan x \,dx = \dfrac{1+x^2}{2}\arctan x - \dfrac{x}{2} + C $$ となります($C$は積分定数)。

元のツイート

元の問題は、公立はこだて未来大学の高村先生からいただきました。感謝します。

 2016-01-02  math