2015-05-16  math 

1/nの確率で当たるクジをn回引いたときに一度も当たらない確率の極限は1/e

$\frac{1}{n}$の確率で当たるクジを$n$回引いたとする($n = 1,2,3,\ldots$)。 そのとき、一度も当たらない確率$P(n)$は、 $$ P(n) = \left(1 - \frac{1}{n}\right)^n $$ で求められる。

ところで、 $$ \left(1 - \frac{1}{n} \right)^n = \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{n-1}\right)^n} $$ であるから、自然対数の底を$e$として、 $$ \lim_{n \to \infty} P(n) = \frac{1}{e} $$ となる。

ではここで問題です。自然対数の底$e$は、 $$ e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n $$ で定義されています。ところが上の式では、 $$ e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n - 1}\right)^n $$ を使っています。 $$ \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n - 1}\right)^n $$ は、ほんとうに成り立つのでしょうか。成り立つならば、それはなぜ?

 2015-05-16  math