2015-04-12  math 

x = 0 と εδ

$\forall \epsilon > 0 [ |x| < \epsilon ] \Leftrightarrow x=0$

以下のメモは、2011年にWeb日記に書いたものをもとにしている。

http://www.hyuki.com/d/201104.html#i20110407080000

問題

$x$についての二つの条件「任意の正の実数$\epsilon$に対して、実数$x$の絶対値は$\epsilon$より小さい」と「実数$x$$0$に等しい」とが同値であることを証明せよ。

補足

$\forall \epsilon > 0 [ |x| < \epsilon ] \Leftrightarrow x=0$を証明せよ」という意味です。

解答

まず、$\forall\epsilon>0[|x|<\epsilon]\Leftarrow x=0$は明らかである。

次に、$\forall\epsilon>0[|x|<\epsilon]\Rightarrow x=0$を証明する。この命題の対偶、すなわち $$ x\neq0 \Rightarrow \exists\epsilon>0[|x|\geq\epsilon] $$ を証明する。$x\neq0$のとき、たとえば$\epsilon=|x|/2$と置く。すると、$\epsilon>0$であり、しかも$|x|\geq|x|/2=\epsilon$だから、$|x|\geq\epsilon$が成り立つ。よって、 $$ x\neq0 \Rightarrow \exists\epsilon>0[|x|\geq\epsilon] $$ が証明された。

したがって、 $$ \forall\epsilon>0[|x|<\epsilon]\Leftrightarrow x=0 $$ は証明された。

ここでは何気なく書いているけれど、 $$ \forall\epsilon>0[|x|<\epsilon]\Rightarrow x=0 $$ の対偶が、 $$ x\neq0 \Rightarrow \exists\epsilon>0[|x|\geq\epsilon] $$ になるというのは正しいけれど、疑問に思う人がいるかもしれない。特に、 $$ \forall\epsilon>0[|x|<\epsilon] $$ の否定が、 $$ \exists\epsilon>0[|x|\geq\epsilon] $$ になるところ。以下のような変形をしています。

$$ \begin{align*} \lnot(\forall\epsilon>0[|x|<\epsilon]) & \Leftrightarrow \lnot(\forall \epsilon[\epsilon>0 \Rightarrow |x|<\epsilon]) \\ & \Leftrightarrow \lnot(\forall \epsilon[\lnot(\epsilon>0) \lor |x|<\epsilon]) \\ & \Leftrightarrow \lnot(\forall \epsilon[\epsilon \leq 0 \lor |x|<\epsilon]) \\ & \Leftrightarrow \exists \epsilon[\lnot(\epsilon \leq 0 \lor |x|<\epsilon)] \\ & \Leftrightarrow \exists \epsilon[\lnot(\epsilon \leq 0) \land \lnot(|x|<\epsilon)] \\ & \Leftrightarrow \exists \epsilon[\epsilon > 0 \land |x| \geq \epsilon] \\ & \Leftrightarrow \exists \epsilon > 0 [|x| \geq \epsilon] \\ \end{align*} $$

引っかかりそうな箇所は、以下の二行の違い。 $$ \begin{align*} \forall\epsilon >0 [ \cdots ] &\Leftrightarrow \forall\epsilon [ \epsilon > 0 \Rightarrow \cdots ] \\ \exists\epsilon >0 [ \cdots ] &\Leftrightarrow \exists\epsilon [ \epsilon > 0 \land \cdots ] \\ \end{align*} $$

 2015-04-12  math