2015-04-05   math 

対称式

\(x_1,\ldots,x_n\)に関する多項式\(f(x_1,\ldots,x_n)\)が、任意の二変数\(x_i,x_j\)を交換しても不変であるとき、この多項式を\(x_1,\ldots,x_n\)の対称式という。

\((y+x_1)(y+x_2)\cdots(y+x_n)\)を展開して\(y\)について整理したとき、\(y^k\)の係数には\(x_1,\cdots,x_n\)の対称式が現れる。特にこれを\(x_1,\cdots,x_n\)の基本対称式という。

二次方程式の解と係数の関係は、 \[\alpha + \beta, \alpha\beta\]という\(\alpha,\beta\)の基本対称式と、二次方程式の係数との関係式である。

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