2015-04-04  math 

連続写像による連結な位相空間の像は連結であることの証明

命題

$f$を、位相空間$X$から位相空間$Y$への連続写像とする。 位相空間$X$が連結ならば、像$f(X)$は連結である。

証明

$f(X)$が連結ではないと仮定し、矛盾を導く。 連結の定義により位相空間$f(X)$を分離する開集合が存在するので、それらを$U,V$とする。 このとき、 $$ U \cap V = \phi, \quad U \cup V \supset f(X), \quad U \cap f(X) \neq \phi, \quad V \cap f(X) \neq \phi \quad $$ である。 $f$が連続写像であることから、連続写像の定義により開集合$U,V$の逆像も開集合になるので、それぞれ$A,B$とする。

(補足)$A,B$は、$A = \{ a \in X | \exists u \in U, f(a) = u \},B = \{ b \in X | \exists v \in V, f(b) = v \}$と定義される。

このとき、$U \supset f(A), V \supset f(B)$なので、 $$ U \cap V \supset f(A) \cap f(B) $$ がいえる。

(補足)$U \supset f(A)$になるのはなぜかというと、$A$の定義より$A$の任意の元$a$に対して、$f(a) \in U$といえるからである。$V \supset f(B)$も同様に考える。

ここで、$U \cap f(X) \neq \phi, V \cap f(X) \neq \phi$から、$A \neq \phi, B \neq \phi$である。 また、$U \cup V \supset f(X)$であるから$A \cup B = X$がいえる。

$U \cup V \supset f(X)$から$X$の任意の元$x$に対して$f(x) \in U \cup V$がいえ、$f(x) \in U$または$f(x) \in V$がいえる。これは$x \in A$または$x \in B$すなわち$x \in A \cup B$にほかならない。よって、$A \cup B \supset X$である。もともと$A \cup B \subset X$であるから、$A \cup B = X$がいえた。

位相空間$X$は連結であるから、 $$ A \cap B \neq \phi $$ である。

(補足)$A,B$はどちらも空集合ではない開集合で、$A \cup B = X$なのだから、連結の定義より、$A \cap B \neq \phi$でなければならない。さもないと、$X$$A$$B$によって分離されてしまい、連結ではなくなってしまう。

以上より、$U \cap V \supset f(A) \cap f(B) \supset f(A \cap B) \neq \phi$がいえる。すなわち、 $$ U \cap V \neq \phi $$ である。これは、 $$ U \cap V = \phi $$ に矛盾する。したがって、$f(X)$は連結である。

(証明終わり)

 2015-04-04  math