2015-04-03  math 

像の共通部分と共通部分の像

$f(A) \cap f(B) \supset f(A \cap B)$

命題

$f$を集合$X$から集合$Y$への写像とする。 $A,B$を集合$X$の部分集合とする。 このとき、 $$f(A) \cap f(B) \supset f(A \cap B)$$が成り立つ。

証明

$f(A \cap B)$に属する任意の元を$y$とすると、集合$A \cap B$に属する元$x$として$f(x) = y$を満たすものが存在する。

$x$$A$$B$の両方に属するので、$f(x)$すなわち$y$$f(A)$$f(B)$の両方に属する。よって$y$$f(A) \cap f(B)$に属する。

したがって、 $$f(A) \cap f(B) \supset f(A \cap B)$$が成り立つ。

(証明終わり)

注意

$f(A) \cap f(B) = f(A \cap B)$とは限らない。 たとえば、$X=\{ 1, 2 \}, A=\{ 1 \}, B=\{ 2 \}, Y = \{ 3 \}$とする。また$f(1)=f(2)=3$とする。このとき、 $$ \begin{align*} f(A) \cap f(B) &= \{ 3 \} \\ f(A \cap B) &= \phi \\ \end{align*} $$なので、 $$ f(A) \cap f(B) \neq f(A \cap B) $$である。

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