2015-04-01  math 

単位元以外の元の位数が2に等しい群はアーベル群であることの証明

命題

$G$において、単位元以外の任意の元の位数が$2$に等しいならば、 $G$はアーベル群である。

(メモ)群$G$の元$g$の位数が$2$に等しいとは、$gg = e$を意味する($e$は単位元)。群$G$がアーベル群であるとは、群$G$が可換であることを意味する。すなわち、群$G$の任意の$2$$a,b$について$ab = ba$であることを意味する。

証明

$a,b$$G$の元とする。仮定より、 $$ (ab)(ab)=e,\quad aa=e,\quad bb=e $$ がいえる。すなわち、 $$ ab = (ab)^{-1},\quad a=a^{-1},\quad b=b^{-1} $$ が成り立つ。また一般に、 $$ (ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1} $$ が成り立つ。よって、 $$ ab = (ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1} = ba $$ すなわち$ab = ba$が成り立ち、群$G$はアーベル群である。

(証明終わり)

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