2014-09-12  math 

数式を書く練習

テトラ「楕円?」

僕「そう。このあいだ、いとこのユーリに話したこと。原点中心の単位円を左右に$a$倍して、上下に$b$倍すると、$\left(\dfrac{x}{a}\right)^2 + \left(\dfrac{y}{b}\right)^2 = 1$という楕円ができるって」

テトラ「はい」

僕「楕円だったら、ちょうど$x = a\cos\theta$$y = b\sin\theta$と置けば、パラメータ表示ができるんだ。ぐるっと描ける。コンパスとは違うけど」

テトラ「いえ、あの、コンパスにこだわっているわけじゃないんですが」

僕「こういうのはどうかな。《$x^2 + y^2 = 1$という円の方程式》と《$\sqrt{x^2}+\sqrt{y^2} = 1$という正方形の方程式》が似ているって話から始まったよね」

テトラ「はい、そうですね」

僕「似ているんだから《どれだけ違うか》を比較してみたらどうだろう。数式を使って」

テトラ「比較するんですか?」

僕「そう。実はね、テトラちゃんが作ってくれた$\sqrt{x^2}+\sqrt{y^2} = 1$という正方形の方程式を見たときにすぐ、両辺を二乗したくなったんだよ」

テトラ「どうしてですか」

僕「そうすると、円の方程式にすごく近づくからなんだ!」

$$ \begin{align*} \sqrt{x^2}+\sqrt{y^2} &= 1 && \text{正方形の方程式} \\ \left(\sqrt{x^2}+\sqrt{y^2}\right)^2 &= 1^2 && \text{両辺を$2$~乗した} \\ x^2 + 2\sqrt{x^2}\sqrt{y^2} + y^2 &= 1 && \text{左辺を展開した} \\ x^2 + y^2 &= 1 - 2\sqrt{x^2}\sqrt{y^2} && \text{$\sqrt{x^2}\sqrt{y^2}$を移項した} \\ \end{align*} $$

テトラ「ははあ……確かに似てますね」

僕「だよね」

$$ \begin{align*} \left|x\right| + \left|y\right| &= 1 && \text{正方形の方程式} \\ \left|r\cos\theta\right| + \left|r\sin\theta\right| &= 1 && \text{$x = r\cos\theta, y = r\sin\theta$を代入した} \\ r \left( \left|\cos\theta\right| + \left|\sin\theta\right| \right) &= 1 && \text{$r \geqq 0$としてくくり出した} \\ r &= \dfrac{1}{\left|\cos \theta\right| + \left|\sin\theta\right|} && \text{両辺を$\left|\cos\theta\right| + \left|\sin\theta\right|$で割った} \\ \end{align*} $$

 2014-09-12  math