2011-04-03  math 

群の問題

くるるさんがつぶやいていた「有限半群がxa=ya→x=yとax=ay→x=yを満たすなら群になる」を証明してみようと思いました。

以下、間違ってたら教えてくださいね。

  1. 条件を満たす有限半群をGとする。

  2. Gの或る要素aに対し、集合aG={ag|g∈G}とする。

  3. このとき、集合としてG=aGが成り立つ。

  4. なぜなら、Gの仮定から、Gの任意の要素bとcに対して、ab=ac → b=c が成り立つ(b≠c → ab≠ac)から、xにaxを対応付けるGからGへの写像は単射。Gは有限集合だから、全単射でもある。

  5. したがって、a∈aGが成り立ち、ae=aを満たす要素eが存在する。

  6. ae=aの右からeを掛けてaee=aeが成り立つ。Gの仮定からee=eが成り立つ。

  7. 集合Geを考えると、Ge=Gが成り立つから、任意のxに対して、xごとに或るy∈Gが存在して、xe=yが成り立つ。

  8. xe=yの右からeを掛けてxee=yeである。ee=eを使うとxe=yeが成り立ち、Gの仮定からx=yが成り立つ。

  9. したがって、eは、任意のx∈Gに対してxe=xが成り立つことがわかる。

  10. 同じようにeGを考えて、ex=xが成り立つことも言える。

  11. したがって、eは単位元である。

  12. 任意のx∈Gに対して、xG={xg|g∈G}を考えると、e∈xGであるから、e=xyを満たすy∈Gがxごとに存在する。このyがxの右逆元である。

  13. 同様にしてGxを考えてxの左逆元の存在も言える。

  14. Gに単位元が存在し、Gの任意の元に右逆元と左逆元が存在するので、Gは群である。

 2011-04-03  math