不定積分 \[ \int x \arctan x \,dx \] を求めよ。
準備として、\((\arctan x)'\)を求めます。まず \(y = \arctan x\)とおくと、 \(\tan y = x\)になります。\(x\)で微分して、\((1 + \tan^2 y) y' = 1\)となります。よって、 \(y' = \dfrac{1}{1 + \tan^2 y}\) すなわち \[ (\arctan x)' = \dfrac{1}{1 + x^2} \] となります。
（これで、\(1 + x^2\)を使えそうだ、とわかりました）。
ここで、 \[ f(x) = (1 + x^2) \arctan x \] とおくと、 \[ f'(x) = 2x \arctan x + 1 \] になるので、 \[ x \arctan x = \frac12(f'(x) - 1) \] となります。
よって、 \[ \int x \arctan x \,dx = \frac12(f(x) - x) + C \] すなわち、 \[ \int x \arctan x \,dx = \dfrac{1+x^2}{2}\arctan x - \dfrac{x}{2} + C \] となります（\(C\)は積分定数）。
元の問題は、公立はこだて未来大学の高村先生からいただきました。感謝します。